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目次 †

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概要 †

ここでは正確には、人口ニューロン、単純パーセプトロンについて説明する。

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動作原理 †

(x1) --------- w1 --------> (y)
                             ↑
(x2) --------- w2 -----------┘
 入力信号  固有の重み     出力信号
↑

式 †

-θ= bはバイアスと呼ばれ、w, θ同様に、「重み」と呼ぶことがある。

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活性化関数 †

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単純な論理回路をパーセプトロンで表現する。 †

機械学習では下のパラメタ（w1, w2, θ（-b））を決める作業をコンピュータに行わせる。

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ANDゲート †

下記のANDゲートを満たすパーセプトロン（w1, w2, θ（-b））を作る。

x1x2y
000
100
010
111
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例 †

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プロット †

　│
　０　　①
　│
　│
─０──０─────
　│
↑

NANDゲート †

下記のNANDゲートを満たすパーセプトロン（w1, w2, θ（-b））を作る。

x1x2y
001
101
011
110
↑

例 †

(ANDゲートのパラメタの符号を反転すればOK)

↑

プロット †

　│
　①　　０
　│
　│
─①──①─────
　│
↑

ORゲート †

下記のORゲートを満たすパーセプトロン（w1, w2, θ（-b））を作る。

x1x2y
000
101
011
111
↑

例 †

↑

プロット †

　│
　①　　①
　│
　│
─０──①─────
　│
↑

XORゲート †

下記のXORゲートを満たす１層のパーセプトロンを作ることはできない。

x1x2y
000
101
011
110
↑

プロット †

理由は、以下の縦軸x1、横軸x2のプロットは、
非線形領域のため、閾値の直線を引けないため。

　│
　①　　０
　│
　│
─０──①─────
　│
↑

多層のパーセプトロン †

しかし、前述のAND、NADN、ORのゲートを
組みわせた多層のパーセプトロンであればXORゲートを作ることができる。

例えば、

を使用すると、

第０層第１層第２層
x1x2s1s2y
00100
10111
01111
11010

と多層（２層）パーセプトロンとしてXORゲートを作ることができる。

(x1) ──NAND──→ (s1)─AND┐
  └── OR ───↑┐       ↓
                　││       (y)
  ┌───NAND──┘↓       ↑
(x2) ── OR ──→ (s2)─AND┘
↑

パーセプトロンを実装する。 †

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簡単な実装 †

ここから、VSCodeでPythonファイルに書いた。

↑

ANDゲート †

"""This is a test program."""
def and_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    w_1, w_2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
    tmp = x_1 * w_1 + x_2 * w_2
    if tmp <= theta:
        return 0
    else:
        return 1

print(and_method(0, 0))
print(and_method(1, 0))
print(and_method(0, 1))
print(and_method(1, 1))
↑

NANDゲート †

w, θを以下のようにする。

w_1, w_2, theta = -0.5, -0.5, -0.7
↑

ORゲート †

w, θを以下のようにする。

w_1, w_2, theta = 0.5, 0.5, 0.3
↑

バイアスを用いた実装 †

上記をバイアスとベクトルを用いて書き直す。

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ANDゲート †

"""This is a test program."""

import numpy as np

def and_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    x = np.array([x_1, x_2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.7
    tmp = b + np.sum(x*w)
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

print(and_method(0, 0))
print(and_method(1, 0))
print(and_method(0, 1))
print(and_method(1, 1))
↑

NANDゲート †

w, bを以下のようにする。

w = np.array([-0.5, -0.5])
b = 0.7
↑

ORゲート †

w, bを以下のようにする。

w = np.array([0.5, 0.5])
b = -0.3
↑

XORゲート †

多層パーセプトロン（MLP）として以下のように実装できる。

"""This is a test program."""

import numpy as np

def and_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    x = np.array([x_1, x_2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.7
    tmp = b + np.sum(x*w)
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

def nand_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    x = np.array([x_1, x_2])
    w = np.array([-0.5, -0.5])
    b = 0.7
    tmp = b + np.sum(x*w)
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

def or_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    x = np.array([x_1, x_2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.3
    tmp = b + np.sum(x*w)
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

def xor_method(x_1, x_2):
    """This is a test program."""
    s_1 = nand_method(x_1, x_2)
    s_2 = or_method(x_1, x_2)
    return and_method(s_1, s_2)

print(xor_method(0, 0))
print(xor_method(1, 0))
print(xor_method(0, 1))
print(xor_method(1, 1))
↑

参考 †

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