DS：数学的基礎 - 確率・統計
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「[[.NET 開発基盤部会 Wiki>http://dotnetdevelopmentinfras...
-戻る
--[[DS：数学的基礎]]
---[[線形代数>DS：数学的基礎 - 線形代数]]
---[[微分・積分>DS：数学的基礎 - 微分・積分]]
---[[微分・偏微分>DS：数学的基礎 - 微分・偏微分]]
---確率・統計
--[[データサイエンス力]] > [[データ分析]]
---[[データ解析]]
---[[統計解析]]
*目次 [#zd382dbe]
#contents
*概要 [#k9e555cd]
不確実性を扱う学問（で）。
*集合 [#w97a6213]
-集合とはものの集まり
--「集合」の「要素」(「元」ともいう)同士は明確に区別でき...
--「集合」に「含まれる」or「含まれない」は明確に区別でき...
--確率・統計に登場する「事象」は「集合」として取り扱うこ...
-数学的には
--S = {a, b, c, d, e, f, g}
--M = {c, d, g}
--M ⊂ S
--a ∈ S
--b ∈ S
--h ∉ S
**和集合と共通部分 [#jbe5c93f]
***和集合 [#k681db84]
-A ∪ B カップ
-A ∪ B = B ∪ A
***共通部分 [#v63760ef]
-A ∩ B キャップ
-A ∩ B = B ∩ A
**絶対補と相対補 [#qcfbc9f4]
補＝～以外
***絶対補 [#h03195c8]
全体中のA以外：U ∖ A = Ā
***相対補 [#o4917b40]
AB中のA以外：B ∖ A
**例 [#f0f75c34]
-
-------
A ∪ B
-
-------
A ∩ B
-
B ∖ A ∩ A ∖ B
-
B ∖ A ∪ A ∖ B
*確率 [#h4189d92]
ある事象の起こり易さの度合い。
-頻度確率（客観確率）
--発生する頻度
---測定すれば必ず決まる。
---客観的に調べられる。
--例
---「10本のうち1本だけ当たりのクジを引いて当選する確率を...
---...
-ベイズ確率（主観確率）
--信念の度合い
---算出するのが難しい。
---全数調査が出来ないが条件を確認しながら確率を決める。
--例
---「あなたは40%の確率でインフレンザです」という診断
---...
以降は、頻度確率（客観確率）の定義について。~
（ベイズ確率（主観確率）については、[[コチラ>ベイズ統計#z...
**確率P(A) [#ie576c7a]
***ある事象Aの起こる確率P(A) [#r33e8ea6]
n(A) 事象Aの起こる場合の数
P(A) = --- = ----------------------------
n(U) 起こり得る全ての場合の数
***ある事象Aの起こらない確率P(Ā) [#r33e8ea6]
P(Ā) = 1 - P(A)
n(A) 事象Aの起こらない場合の数 起こり得る全...
P(Ā) = --- = ---------------------------- = ------------...
n(U) 起こり得る全ての場合の数 ...
n(U) - n(A) n(U) n(A) n(A)
= ----------- = ---- - ---- = 1 - ---- = 1 - P(A)
n(U) n(U) n(U) n(U)
**事象Aと事象Bの共通部分の確率P(A∩B) [#sf539a1d]
-P(A∩B) = P(B∩A)
-以下の区別が必要になる。
--[[条件付き確率>#s7b6e130]]
---P(A∩B) = P(A)P(B|A)
---P(B∩A) = P(B)P(A|B)
---P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
--[[同時確率>#rf3abf38]]
---P(A∩B) = P(A)P(B)
---P(B∩A) = P(B)P(A)
---P(A)P(B) = P(B)P(A)
***条件付き確率P(A|B) [#s7b6e130]
-ある事象Bが与えられた下でAとなる確率
-例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
--◯：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
--☓：雨が降っていて、且つ、条件下で交通事故に遭う確率
P(A∩B) ┌ n(A∩B) n(U) ┐ n(A∩B)
P(A|B) = ------- =│ ------- * ---- │= -------
P(B) └ n(U) n(B) ┘ n(B)
***独立な事象の同時確率P(A)P(B) [#rf3abf38]
-ある事象A、且つ、事象Bとなる確率
-例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
--☓：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
--◯：雨が降っていて、且つ、条件下で交通事故に遭う確率
P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)
※ 積集合と言う言葉は別の意味に使用されるので使用しないが...
***事象Aと事象Bの和集合の確率P(A∪B) [#deb23e92]
共通部分の確率P(A∩B)を使用して計算する。
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
**数の数え方 [#wc90139c]
***場合の数 [#k74388fb]
ある数の要素を取り出して並べるときの数で、並べるのだから...
-繰り返しあり（重複順列）~
異なるnからr個選んで並べる場合の数
n^r
-繰り返しなし~
--異なるnからn個選んで並べる場合の数（階乗）
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1
--異なるnからr個選んで並べる場合の数（順列）
nPr = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r-1) = n!/(n-r)!
***組み合わせの数 [#dc0c1712]
ある数の要素を取り出した組合せの数で、組合せなので順番が...
-異なるnからr個選ぶ場合の数（並べない
--nCr（選ぶ） * r!（並べる） = nPr（順列
--nCr = nPr / r!
-[[場合の数>#k74388fb]]で数えて、数え過ぎの部分を割るとい...
**...の起こる場合の数の制限 [#bb438e15]
-「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」こと。
-同じように起こる可能性がある ≒ 生じる場合が等しい ≒ 同じ...
-確率の定義の中に確率が入るのでこの言い回し。
***「同様に確からしい」の例 [#n081ea4e]
「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」＝コ...
-（通常の）サイコロの偶数の出る確率
--起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
--偶数の出る場合の数：2, 4, 6なので3
--この確率は 3/6 = 1/2 になる。
-2を3に変更したサイコロの偶数の出る確率。
--起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
--偶数の出る場合の数：2, 2, 4, 6なので4
--この確率は 4/6 = 2/3 になる~
（2は2回数えるので3/5ではない）。
***直感的ではない例 [#l95e55b7]
くじを順番に引いても、当たる確率は同じ。~
アタリ１枚、ハズレ４枚のケース。樹形図で計算すると...
-Aがアタリを引く確率は 1/5
-Bがアタリを引く確率は
--4/(5*4) = 1/5（ケースは4倍、アタリは4パターン
--Aハズレの確率 * Bアタリの確率 = 4/5 * 1/4 = 1/5
-Cがアタリを引く確率は
--4*3/(5*4*3) = 1/5（ケースは3倍、アタリは3パターン
--Aハズレの確率 * Bハズレの確率 * Cアタリの確率 = 4/5 * 3...
*統計 [#u547d6f1]
-集団を数量的に理解する（四則演算ぐらいでできる。
-ココでは、ほぼ、[[代表値（統計量）>データ分析#j6ea2557]]...
**[[分布の中心>データ分析#xcffe56e]] [#k63a9fce]
***平均値 [#xbff4ad6]
平均は必ずしも普通を意味しない（[[分布>#s9878207]]による...
***中央値 [#yc718109]
***最頻値 [#of2a2521]
**[[分布のバラつき>データ分析#o1f7e894]] [#s9878207]
***[[分布>統計解析#g914fdcf]] [#gb284e1b]
色々な[[確率分布>統計解析#efae792f]]がある。
***[[分散>統計解析#m656dd23]] [#c60c77b0]
散らばり度ありの数値化
***[[標準偏差>統計解析#g9d1e77e]] [#oc3381ba]
分散の平方根
***[[偏差値>統計解析#w1e5109d]] [#m70cd00f]
標準偏差を平均≒50前後の値にしたもの。
**因果関係、相関関係、擬似相関 [#k67caee5]
***[[因果関係>統計解析#je5270cd]]と[[相関関係>統計解析#ba...
***[[相関関係と擬似相関>統計解析#bad01586]] [#d1a87c52]
*参考 [#ddb76479]
-中学数学からはじめる確率統計 - YouTube~
https://www.youtube.com/watch?v=K2cJofUJVO8
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---[[線形代数>DS：数学的基礎 - 線形代数]]
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---[[微分・偏微分>DS：数学的基礎 - 微分・偏微分]]
---確率・統計
--[[データサイエンス力]] > [[データ分析]]
---[[データ解析]]
---[[統計解析]]
*目次 [#zd382dbe]
#contents
*概要 [#k9e555cd]
不確実性を扱う学問（で）。
*集合 [#w97a6213]
-集合とはものの集まり
--「集合」の「要素」(「元」ともいう)同士は明確に区別でき...
--「集合」に「含まれる」or「含まれない」は明確に区別でき...
--確率・統計に登場する「事象」は「集合」として取り扱うこ...
-数学的には
--S = {a, b, c, d, e, f, g}
--M = {c, d, g}
--M ⊂ S
--a ∈ S
--b ∈ S
--h ∉ S
**和集合と共通部分 [#jbe5c93f]
***和集合 [#k681db84]
-A ∪ B カップ
-A ∪ B = B ∪ A
***共通部分 [#v63760ef]
-A ∩ B キャップ
-A ∩ B = B ∩ A
**絶対補と相対補 [#qcfbc9f4]
補＝～以外
***絶対補 [#h03195c8]
全体中のA以外：U ∖ A = Ā
***相対補 [#o4917b40]
AB中のA以外：B ∖ A
**例 [#f0f75c34]
-
-------
A ∪ B
-
-------
A ∩ B
-
B ∖ A ∩ A ∖ B
-
B ∖ A ∪ A ∖ B
*確率 [#h4189d92]
ある事象の起こり易さの度合い。
-頻度確率（客観確率）
--発生する頻度
---測定すれば必ず決まる。
---客観的に調べられる。
--例
---「10本のうち1本だけ当たりのクジを引いて当選する確率を...
---...
-ベイズ確率（主観確率）
--信念の度合い
---算出するのが難しい。
---全数調査が出来ないが条件を確認しながら確率を決める。
--例
---「あなたは40%の確率でインフレンザです」という診断
---...
以降は、頻度確率（客観確率）の定義について。~
（ベイズ確率（主観確率）については、[[コチラ>ベイズ統計#z...
**確率P(A) [#ie576c7a]
***ある事象Aの起こる確率P(A) [#r33e8ea6]
n(A) 事象Aの起こる場合の数
P(A) = --- = ----------------------------
n(U) 起こり得る全ての場合の数
***ある事象Aの起こらない確率P(Ā) [#r33e8ea6]
P(Ā) = 1 - P(A)
n(A) 事象Aの起こらない場合の数 起こり得る全...
P(Ā) = --- = ---------------------------- = ------------...
n(U) 起こり得る全ての場合の数 ...
n(U) - n(A) n(U) n(A) n(A)
= ----------- = ---- - ---- = 1 - ---- = 1 - P(A)
n(U) n(U) n(U) n(U)
**事象Aと事象Bの共通部分の確率P(A∩B) [#sf539a1d]
-P(A∩B) = P(B∩A)
-以下の区別が必要になる。
--[[条件付き確率>#s7b6e130]]
---P(A∩B) = P(A)P(B|A)
---P(B∩A) = P(B)P(A|B)
---P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
--[[同時確率>#rf3abf38]]
---P(A∩B) = P(A)P(B)
---P(B∩A) = P(B)P(A)
---P(A)P(B) = P(B)P(A)
***条件付き確率P(A|B) [#s7b6e130]
-ある事象Bが与えられた下でAとなる確率
-例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
--◯：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
--☓：雨が降っていて、且つ、条件下で交通事故に遭う確率
P(A∩B) ┌ n(A∩B) n(U) ┐ n(A∩B)
P(A|B) = ------- =│ ------- * ---- │= -------
P(B) └ n(U) n(B) ┘ n(B)
***独立な事象の同時確率P(A)P(B) [#rf3abf38]
-ある事象A、且つ、事象Bとなる確率
-例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
--☓：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
--◯：雨が降っていて、且つ、条件下で交通事故に遭う確率
P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)
※ 積集合と言う言葉は別の意味に使用されるので使用しないが...
***事象Aと事象Bの和集合の確率P(A∪B) [#deb23e92]
共通部分の確率P(A∩B)を使用して計算する。
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
**数の数え方 [#wc90139c]
***場合の数 [#k74388fb]
ある数の要素を取り出して並べるときの数で、並べるのだから...
-繰り返しあり（重複順列）~
異なるnからr個選んで並べる場合の数
n^r
-繰り返しなし~
--異なるnからn個選んで並べる場合の数（階乗）
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1
--異なるnからr個選んで並べる場合の数（順列）
nPr = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r-1) = n!/(n-r)!
***組み合わせの数 [#dc0c1712]
ある数の要素を取り出した組合せの数で、組合せなので順番が...
-異なるnからr個選ぶ場合の数（並べない
--nCr（選ぶ） * r!（並べる） = nPr（順列
--nCr = nPr / r!
-[[場合の数>#k74388fb]]で数えて、数え過ぎの部分を割るとい...
**...の起こる場合の数の制限 [#bb438e15]
-「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」こと。
-同じように起こる可能性がある ≒ 生じる場合が等しい ≒ 同じ...
-確率の定義の中に確率が入るのでこの言い回し。
***「同様に確からしい」の例 [#n081ea4e]
「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」＝コ...
-（通常の）サイコロの偶数の出る確率
--起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
--偶数の出る場合の数：2, 4, 6なので3
--この確率は 3/6 = 1/2 になる。
-2を3に変更したサイコロの偶数の出る確率。
--起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
--偶数の出る場合の数：2, 2, 4, 6なので4
--この確率は 4/6 = 2/3 になる~
（2は2回数えるので3/5ではない）。
***直感的ではない例 [#l95e55b7]
くじを順番に引いても、当たる確率は同じ。~
アタリ１枚、ハズレ４枚のケース。樹形図で計算すると...
-Aがアタリを引く確率は 1/5
-Bがアタリを引く確率は
--4/(5*4) = 1/5（ケースは4倍、アタリは4パターン
--Aハズレの確率 * Bアタリの確率 = 4/5 * 1/4 = 1/5
-Cがアタリを引く確率は
--4*3/(5*4*3) = 1/5（ケースは3倍、アタリは3パターン
--Aハズレの確率 * Bハズレの確率 * Cアタリの確率 = 4/5 * 3...
*統計 [#u547d6f1]
-集団を数量的に理解する（四則演算ぐらいでできる。
-ココでは、ほぼ、[[代表値（統計量）>データ分析#j6ea2557]]...
**[[分布の中心>データ分析#xcffe56e]] [#k63a9fce]
***平均値 [#xbff4ad6]
平均は必ずしも普通を意味しない（[[分布>#s9878207]]による...
***中央値 [#yc718109]
***最頻値 [#of2a2521]
**[[分布のバラつき>データ分析#o1f7e894]] [#s9878207]
***[[分布>統計解析#g914fdcf]] [#gb284e1b]
色々な[[確率分布>統計解析#efae792f]]がある。
***[[分散>統計解析#m656dd23]] [#c60c77b0]
散らばり度ありの数値化
***[[標準偏差>統計解析#g9d1e77e]] [#oc3381ba]
分散の平方根
***[[偏差値>統計解析#w1e5109d]] [#m70cd00f]
標準偏差を平均≒50前後の値にしたもの。
**因果関係、相関関係、擬似相関 [#k67caee5]
***[[因果関係>統計解析#je5270cd]]と[[相関関係>統計解析#ba...
***[[相関関係と擬似相関>統計解析#bad01586]] [#d1a87c52]
*参考 [#ddb76479]
-中学数学からはじめる確率統計 - YouTube~
https://www.youtube.com/watch?v=K2cJofUJVO8
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