NumPy のバックアップ(No.9)

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目次 †

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概要 †

多次元配列における数値計算を効率的に行うことをサポートする数学関数ライブラリ

効率的な数値計算を行うための型付きの多次元配列のサポートをPythonに加える。
多次元配列を操作するための大規模な高水準の数学関数ライブラリを提供する。
NumPy自体はC言語で書かれているため、Pythonのリストと比べると高速な処理が可能。

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詳細 †

↑

準備 †

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インストール †

> pip install numpy

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インポート †

>>>import numpy as np

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ファースト・ステップ †

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NumPyの配列 †

１次元配列はベクトルとも言う。

↑

生成 †

>>>x=np.array([1.0,2.0,3.0])
>>> x
array([1., 2., 3.])
>>>print(x)
[1. 2. 3.]
>>>type(x)
<class 'numpy.ndarray'>

array

>>>np.array([[1, 2], [3, 4]])
array([[1, 2],
       [3, 4]])

arange

>>>np.arange(10)
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

ones（１埋め

>>>np.ones(10)
array([1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])

zeros（０埋め

>>>np.zeros(10)
array([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

empty（ランダム

>>>np.empty(5)
array([2.12199579e-314, 6.36598737e-314, 1.06099790e-313, 1.48539705e-313,
      1.90979621e-313])

random.randn（標準正規分布

>>>np.random.randn(10)
array([ 1.33385073, -0.61769365,  1.41045502, -0.18429257, -0.00662791,
       -0.09483573, -2.26232104,  0.95660959, -1.02715574, -1.02119134])

↑

確認 †

>>>x=np.array([1.0,2.0,3.0])

>>> np.ndim(x) # 配列の次元
1

>>> x.shape    # 次元の形状
(3,)

>>> x.shape[0] # 次元の要素数
3

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算術計算 †

同じ数の要素を持つ２つのNumPy配列を算術計算で処理する。

>>>x=np.array([1.0,2.0,3.0])
>>>y=np.array([2.0,4.0,6.0])

四則演算

要素ごとの足し算
```
>>>x+y
array([ 3.,  6.,  9.])
```

要素ごとの引き算
```
>>>x-y
array([-1., -2., -3.])
```

要素ごとの掛け算
```
>>>x*y
array([  2.,   8.,  18.])
```

要素ごとの割り算
```
>>>x/y
array([ 0.5,  0.5,  0.5])
```

その他の計算
arr = np.arange(10)

arr

平方根の計算

>>>np.sqrt(arr)
array([0.        , 1.        , 1.41421356, 1.73205081, 2.        ,
       2.23606798, 2.44948974, 2.64575131, 2.82842712, 3.        ])

ネイピア数（自然対数の底）e を底とする累乗

>>>np.exp(arr)
array([1.00000000e+00, 2.71828183e+00, 7.38905610e+00, 2.00855369e+01,
       5.45981500e+01, 1.48413159e+02, 4.03428793e+02, 1.09663316e+03,
       2.98095799e+03, 8.10308393e+03])

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統計計算 †

標準正規分布
```
>>>x=np.random.randn(10)
```

符号

>>>np.sign(x)
array([ 1.,  1., -1., -1., -1., -1.,  1.,  1.,  1.,  1.])

平均
（標準正規分布で要素数を増やすと０に近づく
```
>>>x.mean()
0.02713878708811851
```

標準偏差
（標準正規分布で要素数を増やすと１に近づく
```
>>>x.std()
1.2305510107988773
```

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NumPyのN次配列 †

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行列 †

行列とは？

２次元配列は行列とも言う。
行が、１つの添字で表される１つのべクトル
列は、ベクトルのｎ番目の要素をグループ化したもの。

    列↓
  ┌      ┐
行│○  ○│
→│      │
  │○  ○│
  └      ┘

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テンソル †

テンソルとは？

ベクトルや行列を一般化したものをテンソルと呼ぶ。
３次元以上の配列を、テンソル/多次元配列と呼ぶ。

↑

生成 †

>>> a=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>> print(a)
[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]
>>> np.ndim(a) # 配列の次元
2
>>> a.shape    # 行列の形状
(3, 2)         # 行数・列数
>>> a.dtype    # 行列要素のデータ型
dtype('int32')

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算術計算 †

要素ごとの足し算

行列数同じ

>>>a=np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>>b=np.array([[3, 0], [0, 6]])
>>>a+b
array([[ 4,  2],
       [ 3, 10]])

行列数が異なる

>>>a=np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>>b=np.array([10,20])
>>>a+b
array([[11, 22],
       [13, 24]])

要素ごとの掛け算
行列の積でないことに注意

行列数同じ

>>>a=np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>>b=np.array([[3, 0], [0, 6]])
>>>a*b
array([[ 3,  0],
       [ 0, 24]])

行列数が異なる

>>>a=np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>>b=np.array([10,20])
>>>a*b
array([[10, 40],
       [30, 80]])

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要素へのアクセス †

>>> a=np.array([[51, 55], [14, 19], [0, 4]])
>>> print(a)
[[51 55]
 [14 19]
 [ 0  4]]

↑

インデックス †

N次配列にN個のインデックスを指定すると要素が取り出せる。
```
>>>a[0][1]
55
```

N次配列にX個のインデックスを指定するとN-X次配列が取り出せる。
```
>>>a[0]
array([51, 55])
```

↑

抽出 †

スライシング

>>>a[0,1:2]
array([55])
>>>a[1:2,0]
array([14])

配列でインデックスを指定

>>>a[np.array([0,1])]
array([[51, 55],
      [14, 19]])

比較演算

15より大きい値を調査。

>>>a>15
array([[ True,  True],
       [False,  True],
       [False, False]])

15より大きい値を抽出。
```
>>>a[a>15]
array([51, 55, 19])
```

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ベクトル化 †

N次配列の１次配列化

平坦化

>>> a=a.flatten()
>>> print(a)
[51 55 14 19  0  4]

行ベクトル（横ベクトル）化
```
np[0,:] # 1行目、全列スライス
```

列ベクトル（縦ベクトル）化
```
np[:,0] # 1列目、全行スライス
```

ベクトルの２次配列化（機械学習用）

行ベクトル（横ベクトル）の２次元化
```
>>>np[0,:].reshape(1, -1)
```

列ベクトル（縦ベクトル）の２次元化
```
>>>np[:,0].reshape(1, -1)
```

↑

ブロード・キャスト †

スカラ値や異なる形状の配列と計算を行う。

↑

スカラ値 †

配列とスカラ値との計算では、スカラ値が配列形状に拡張され計算される。

NumPyの配列

>>>x=np.array([1.0,2.0,3.0])
>>>x/2.0
array([0.5,  1. ,  1.5])

NumPyのN次配列

>>>a=np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>>a*10
array([[10, 20],
       [30, 40]])

↑

異なる形状 †

→ 行列の積算

↑

セカンド・ステップ †

↑

行列の変換 †

>>> a=np.array([[51, 55], [14, 19], [0, 4]])
>>> print(a)
[[51 55]
 [14 19]
 [ 0  4]]

↑

転置行列 †

Tプロパティ
```
>>>print(a.T)
[[51 14  0]
 [55 19  4]]
```

transposeメソッド

>>>print(a.transpose())
[[51 14  0]
 [55 19  4]]

↑

行列の積算 †

Ａ行列 * Ｂ行列 =Ｃ行列

Ａ行列の列数とＢ行列の行数が一致ししている必要がある。
計算後のＣ行列は、Ａ行列の行数 * Ｂ行列の列数の行列になる。

↑

2行2列の場合 †

┌      ┐┌      ┐   ┌                    ┐
│a1  b1││a2  b2│   │a1a2+b1c2  a1b2+b1d2│
│      ││      │ = │                    │
│c1  d1││c2  d2│   │c1a2+d1c2  c1b2+d1d2│
└      ┘└      ┘   └                    ┘
  Ａ行列    Ｂ行列              Ｃ行列
  2行2列    2行2列              2行2列

↑

x行y列の場合 †

計算後のＣ行列は、Ａ行列の行数 * Ｂ行列の列数の行列になる。

ベクトルと行列との計算では、
ベクトルが行列形状に拡張され計算される。

┌     ┐┌  ┐   ┌     ┐┌    ┐  ┌         ┐
│a1 b1││a2│   │a1 b1││a2 0│  │a1a2+b1b2│
│     ││  │ = │     ││    │ =│         │
│c1 d1││b2│   │c1 d1││b2 0│  │c1a2+d1b2│ 
└     ┘└  ┘   └     ┘└    ┘  └         ┘ 
  Ａ行列   Ｂ行列                       Ｃ行列
  2行2列   2行1列                       2行1列

Ａ行列の列数とＢ行列の行数が一致ししている必要がある。

┌      ┐┌              ┐   ┌                                          ┐
│a1  b1││a2  b2  c2  d2│   │a1a2+b1e2  a1b2+b1f2  a1c2+b1g2  a1d2+b1h2│
│      ││              │   │                                          │
│c1  d1││e2  f2  g2  h2│ = │c1a2+d1e2  c1b2+d1f2  c1c2+d1g2  c1d2+d1h2│
│      │└              ┘   │                                          │
│e1  f1│                     │e1a2+f1e2  e1b2+f1f2  e1c2+f1g2  e1d2+f1h2│
└      ┘                     └                                          ┘
  Ａ行列        Ｂ行列                             Ｃ行列
  3行2列        2行4列                             3行4列

↑

演算子、メソッド †

要素ごとの掛け算でないことに注意

データ生成

>>>a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>>b=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>>c=np.array([[1,2],[3,4]])
>>>d=np.array([7,8])

>>>a
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>>b
array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
>>>c
array([[1, 2],
       [3, 4]])
>>>d
array([7, 8])

演算子
@（ドット積）演算子を使用する。

>>>a@b
array([[22, 28],
       [49, 64]])

>>>b@c
array([[ 7, 10],
       [15, 22],
       [23, 34]])

>>>b@d
array([23, 53, 83])

>>>a@c # Ａ行列の列数とＢ行列の行数が一致しない。
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

メソッド
dot（ドット積）メソッドを使用する。

>>>np.dot(a,b)
array([[22, 28],
       [49, 64]])

>>>np.dot(b,c)
array([[ 7, 10],
       [15, 22],
       [23, 34]])

>>>np.dot(b,d)
array([23, 53, 83])

>>>np.dot(a,c) # Ａ行列の列数とＢ行列の行数が一致しない。
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)

↑

ベクトルの積算（内積） †

>>>a=np.array([1,2,3,4])
>>>b=np.array([10,20,30,40])

↑

データの生成 †

ベクトルを行列化する。

>>> a=a.reshape(1, -1)
>>> b=b.reshape(1, -1).T # 転置行列に

↑

計算方法 †

演算子
```
>>>a@b
```

メソッド
```
>>>np.dot(a,b)
```

↑

交換法則が成立 †

行列では、交換法則の不成立になるが、
ベクトルの場合は成立する（ただし転置が必要）。

>>>a@b
>>>b.T@a.T

>>>np.dot(a,b)
>>>np.dot(b.T,a.T)

↑

信号処理 †

↑

... †

↑

参考 †

NumPy - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/NumPy

NumPy https://numpy.org/

NumPy Reference — NumPy v1.22 Manual
https://numpy.org/doc/stable/reference/
- Universal functions (ufunc)
  https://numpy.org/doc/stable/reference/ufuncs.html

目次 †

概要 †

詳細 †

準備 †

インストール †

インポート †

関数 †

数列生成 †

統計関数 †

行列演算 †

信号処理 †

ファースト・ステップ †

NumPyの配列 †

生成 †

確認 †

算術計算 †

統計計算 †

NumPyのN次配列 †

行列 †

テンソル †

生成 †

算術計算 †

要素へのアクセス †

インデックス †

抽出 †

ベクトル化 †

ブロード・キャスト †

スカラ値 †

異なる形状 †

セカンド・ステップ †

行列の変換 †

転置行列 †

行列の積算 †

2行2列の場合 †

x行y列の場合 †

演算子、メソッド †

ベクトルの積算（内積） †

データの生成 †

計算方法 †

交換法則が成立 †

信号処理 †

... †

参考 †