DS：数学的基礎 - 確率・統計 のバックアップ(No.5)

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目次 †

概要 †

不確実性を扱う学問（で）。

集合 †

• 集合とはものの集まり
  • 「集合」の「要素」(「元」ともいう)同士は明確に区別できる。
  • 「集合」に「含まれる」or「含まれない」は明確に区別できる。
  • 確率・統計に登場する「事象」は「集合」として取り扱うことができる。

• 数学的には
  • S = {a, b, c, d, e, f, g}
  • M = {c, d, g}
  • M ⊂ S
  • a ∈ S
  • b ∈ S
  • h ∉ S

和集合と共通部分 †

和集合 †

• A ∪ B　カップ
• A ∪ B = B ∪ A

共通部分 †

• A ∩ B　キャップ
• A ∩ B = B ∩ A

絶対補と相対補 †

補＝～以外

絶対補 †

全体中のA以外：U ∖ A = Ā

相対補 †

AB中のA以外：B ∖ A

例 †

• -------
  A ∪ B

• -------
  A ∩ B

• B ∖ A ∩ A ∖ B

• B ∖ A ∪ A ∖ B

確率 †

ある事象の起こり易さの度合い。

頻度確率（客観確率） †

• 発生する頻度
  • 測定すれば必ず決まる。
  • 客観的に調べられる。

• 例
  • 「10本のうち1本だけ当たりのクジを引いて当選する確率を調べたところ10%であった」という事実
  • ...

ベイズ確率（主観確率） †

• 信念の度合い
  • 算出するのが難しい。
  • 全数調査が出来ないが条件を確認しながら確率を決める。

• 例
  • 「あなたは40%の確率でインフレンザです」という診断
  • ...

• ベイズ統計

頻度確率（客観確率）の定義 †

確率P(A) †

ある事象Aの起こる確率P(A) †

       n(A)     事象Aの起こる場合の数
P(A) = --- = ----------------------------
       n(U)   起こり得る全ての場合の数

ある事象Aの起こらない確率P(Ā) †

P(Ā) = 1 - P(A)

       n(A)   事象Aの起こらない場合の数     起こり得る全ての場合の数－事象Aの起こる場合の数
P(Ā) = --- = ---------------------------- = -----------------------------------------------
       n(U)   起こり得る全ての場合の数                  起こり得る全ての場合の数

  n(U) - n(A)   n(U)   n(A)       n(A)
= ----------- = ---- - ---- = 1 - ---- = 1 - P(A)
      n(U)      n(U)   n(U)       n(U)

...確率P(A∩B) †

• P(A∩B) = P(A)P(B|A)
• P(A∩B) = P(B∩A)
• P(B∩A) = P(B)P(A|B)
• P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

条件付き確率P(A|B) †

• ある事象Bが与えられた下でAとなる確率
• 例：雨が降っている条件下で交通事故に遭う確率

           P(A∩B)   n(A∩B)   n(U)   n(A∩B)
  P(A|B) = ------- = ------- * ---- = -------
             P(B)     n(U)     n(B)    n(B)

...の起こる場合の数の制限 †

...の起こる場合の数の制限は、

• 「同様に確からしい」こと。
• ≒ 生じる場合が等しい ≒ 同じ確率。
• 確率の定義の中に確率が入るのでこの言い回し。

「同様に確からしい」の例 †

（通常の）サイコロの偶数の出る確率 †

• 起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
• 偶数の出る場合の数：2, 4, 6なので3
• この確率は 3/6 = 1/2 になる。

２を３に変更したサイコロの偶数の出る確率。 †

• 起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
• 偶数の出る場合の数：2, 2, 4, 6なので4
• この確率は 4/6 = 2/3 になる
  （2は2回数えるので3/5ではない）。

直感的ではない例 †

くじを順番に引いても、当たる確率は同じ。 †

アタリ１枚、ハズレ４枚のケース。樹形図で計算すると...

• Aがアタリを引く確率は 1/5

• Bがアタリを引く確率は
  • 4/(5*4) = 1/5（ケースは4倍、アタリは4パターン
  • Aハズレの確率 * Bアタリの確率 = 4/5 * 1/4 = 1/5

• Cがアタリを引く確率は
  • 4*3/(5*4*3) = 1/5（ケースは3倍、アタリは3パターン
  • Aハズレの確率 * Bハズレの確率 * Cアタリの確率 = 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

数の数え方 †

場合の数（樹形図 †

取り出したものを区別しない場合

• 順列（Permutation）：
  異なるnからr個選んで並べる場合の数

  nPr = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r-1)

• 階乗（Factorial）：
  異なるnからn個選んで並べる場合の数

  C! = n*(n-1)*(n-2)*...* 1

組み合わせの数 †

取り出したものを区別しない場合

• 組み合わせの数（Combination）：
  異なるnからr個選ぶ場合の数（並べない
  • nCr（選ぶ） * r!（並べる） = nPr（順列
  • nCr = nPr / r!

• 樹形図で数えて、数え過ぎの部分を割るという考え方になる。

ベイズ確率（主観確率）の定義 †

統計 †

• 集団を数量的に理解する（四則演算ぐらいでできる。
• ココでは、ほぼ、代表値（統計量）について言及

分布の中心 †

平均値 †

平均は必ずしも普通を意味しない（分布による）。

中央値 †

最頻値 †

分布のバラつき †

分布 †

色々な確率分布がある。

分散 †

散らばり度ありの数値化

標準偏差 †

分散の平方根

偏差値 †

標準偏差を平均≒50前後の値にしたもの。

因果関係、相関関係、擬似相関 †

因果関係と相関関係 †

相関関係と擬似相関 †

参考 †

• 中学数学からはじめる確率統計 - YouTube?
  https://www.youtube.com/watch?v=K2cJofUJVO8

     

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