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df(x) yの増量 f(x+h) - f(x) f(x+h) - f(x) ── = ─── = lim ────── = lim ────── dx xの増量 h→0 (x+h) - (x) h→0 h
式の展開によって微分を求める（誤差がない）。
計算によって微分を求める（誤差がある）。
"""This is a test program."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def numerical_diff(f, x):
"""数値微分"""
h = 1e-4 # 微小な値hとして1の-4乗を用いる
return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h) # 前方差分から中心差分にして誤差減
def function_1(x):
"""f(x)=0.01x^2+0.1x"""
return 0.01 * x ** 2 + 0.1 * x
X=5
print("X=" + str(X) + " : " + str(numerical_diff(function_1, X)))
X=10
print("X=" + str(X) + " : " + str(numerical_diff(function_1, X)))
X = np.arange(0.0, 20.0, 0.1)
Y = function_1(X)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.plot(X, Y)
plt.show()
X=5 : 0.1999999999990898 X=10 : 0.2999999999986347
y = 4x1^3 + 2x2^2 + 1
∂y ── = 12x1^2 ∂x1
２つの引数の2乗和を計算する式
2 2 f(x0, x1) = x0 + x1
"""This is a test program."""
import numpy as np
def function_2(x):
"""f(x0, x1) = x0^2 + x1^2"""
return x[0] ** 2 + x[1] ** 2
# or return np.sum(x ** 2)２つの引数の2乗和を計算する式の偏微分
∂f(x0, x1)
───── = 2 * x0
dx0
∂f(x0, x1)
───── = 2 * x1
dx1numerical_diff"""This is a test program."""
import numpy as np
def numerical_diff(f, x):
"""数値微分"""
h = 1e-4 # 微小な値hとして1の-4乗を用いる
return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h) # 前方差分から中心差分にして誤差減
def function_tmp1(x0):
"""x0=3, x1=4 の場合の x0 に対する偏微分用"""
return x0 ** 2 + 4.0 ** 2
def function_tmp2(x1):
"""x0=3, x1=4 の場合の x1 に対する偏微分用"""
return 3.0 ** 2.0 + x1 ** 2
print(numerical_diff(function_tmp1, 3.0))
print(numerical_diff(function_tmp2, 4.0))6.00000000000378 (2 * x0 = 2 * 3 = 6) 7.999999999999119 (2 * x1 = 2 * 4 = 8)
合成関数の微分についての性質。
合成関数（関数Aと関数B）
z = t^2 = f(t) t = x + y = g(x) z = f(g(x))
∂z ─ = 2t ∂t
∂t ─ = 1 ∂x
∂z ∂z ∂t ─ = ─ ─ = 2t * 1 = 2t = 2(x + y) ∂x ∂t ∂x
https://www.youtube.com/watch?v=ChoArVJnSjQ
y=x^n
df(x) d(x^n) ── = ── = nx^(n-1) dx dx
df(x) yの増量 (x+h)^2 - x^2 (x^2+2hx+h^2) - (x^2) ── = ─── = lim ────── = lim ────────── dx xの増量 h→0 (x+h) - (x) h→0 h
dy 2hx+h^2 ── = lim ──── = lim 2x+h = 2x dx h→0 h h→0
y=a^x
df(x) d(a^x) ── = ── = logea・a^x dx dx
df(x) d(a^x) a^(x-dx) - a^x a^x(a^dx - 1) a^dx - 1 ── = ── = ─────── = ─────── = a^x───── dx dx dx dx dx
a^h - 1 lim ──── = 1 となるような h = e h→0 h
df(x) d(e^x) e^(x-dx) - e^x e^x(e^dx - 1) e^dx - 1 ── = ── = ─────── = ─────── = e^x───── = e^x・1 = e^x dx dx dx dx dx
連鎖率を使う
df(x) d(a^x) d(e^((log𝑒a)・x)) d(e^t) dt ── = ── = ──────── = ─── ─ = e^t・(log𝑒a) = a^x・(log𝑒a) = logea・a^x dx dx dx dt dx
は、逆関数の微分値の逆数（的なもの）
y=logea^x
dy/dx = logea・x
x=a^y
dx/dy = logea・a^y = logea・x
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(logea・x)
https://www.headboost.jp/derivatives-of-trigonometric-function/#index_id1
sin'(𝜃) = cos(𝜃)
cos'(𝜃) = -sin(𝜃)
sin(𝜃 + d𝜃) − sin(𝜃) d(sin(𝜃)) d𝜃・cos𝜃
sin'(𝜃) = ────────── = ───── = ───── = cos(𝜃)
d𝜃 d𝜃 d𝜃 cos(𝜃 + d𝜃) − cos(𝜃) d(cos(𝜃)) -d𝜃・sin𝜃
cos'(𝜃) = ────────── = ───── = ───── = -sin(𝜃)
d𝜃 d𝜃 d𝜃以下を使う。
